Martin Wechselberger

摘要    本节讨论用于计算许多图中所示的二维慢流形以及平衡点的稳定和不稳定流形的数值方法。慢流形计算是使用数值积分和边界值方法来计算沿着慢流形的轨线段，轨道段只是向量场轨线的有限部分；因此，它有两个端点和一个相关的积分时间。在计算慢流形的上下文中，每个这样的轨线段被选择为在临界流形上远离其折的一个端点，其中我们希望临界流形是慢流形的良好近似。实际上，Fenichel 定理暗示临界流形和慢流形之间的距离是并且轨线以指数速率在适当的时间方向上从临界流形流动到吸引或排斥慢流形；参见定理。因此，除了一端存在从临界流形到慢流形的快速过渡的短 段之外，预计计算的轨线段将尽可能接近慢流形。对于平衡点的稳定流形和不稳定流形，选择轨线段分别位于与稳定或不稳定特征值相关的线性特征空间中。与这种近似相关的计算误差在远离终点时也迅速变弱；参见分析了这些近似误差。计算作为轨线段族的不变流形的一种简单有效的方法是使用初始值解算器作为具有初始条件的基本算法，初始条件选择在不变流形中横向流的点网格上；我们称之为“扫描”法。尽管该方法简单，但在某些情况下不能产生令人满意的结果。特别地，轨线相互之间的强收敛或发散使得初始网格的选择有问题，并且可能产生期望的流形的非常不均匀的“覆盖”；参见[1，2]。在多时间尺度系统中，没有吸引力的 Fenichel 流形的快速指数不稳定性使得初值解算器无法通过正向积分来跟踪这些流形。这些问题促使使用结合了连续性边界值方法作为计算不变流形的备选策略[32，33]。在本文中，我们使用了两种策略。本节详细介绍用于计算具有一个快变量和两个慢变量的系统的吸引和排斥慢流形的方法，以及当参数变化时鸭轨线的延续。

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